Matematická olympiáda 9. ročník

09.11.2015 09:45
KATEGORIE Z9
Z9–I–1
Objem vody v městském bazénu s obdélníkovým dnem je 6 998,4 hektolitrů.
Propagační leták uvádí, že kdybychom chtěli všechnu vodu z bazénu
přelít do pravidelného čtyřbokého hranolu s podstavnou hranou rovnající
se průměrné hloubce bazénu,musel by být hranol vysoký jako blízký
televizní vysílač a pak by byl naplněný až po okraj.
Dodáváme, že kdybychom chtěli uplavat vzdálenost stejnou, jako je
výška vysílače, museli bychom přeplavat buď osm délek, nebo patnáct
šířek bazénu. Jak vysoký je vysílač? (L. Šimůnek)
 
Z9–I–2
Úžasným číslem nazveme takové sudé číslo, jehož rozklad na součin
prvočísel má právě tři ne nutně různé činitele a součet všech jeho dělitelů
je roven dvojnásobku tohoto čísla. Najděte všechna úžasná čísla.
(M. Mach)
 
Z9–I–3
Jirka sestrojil čtverec ABCD o straně 12 cm. Do tohoto čtverce narýsoval
čtvrtkružnici k, která měla střed v bodě B a procházela bodem A,
a půlkružnici l, která měla střed v polovině strany BC a procházela bodem
B.
Rád by ještě sestrojil kružnici, která by ležela uvnitř čtverce a dotýkala
se čtvrtkružnice k, půlkružnice l i strany AB. Určete poloměr takové
kružnice. (M. Volfová)
 
Z9–I–4
V tabulce je kurzovní lístek směnárny, avšak některé hodnoty jsou
v něm nahrazeny otazníky. Směnárna vyměňuje peníze v uvedených kurzech
a neúčtuje si jiné poplatky.
             nákup        prodej
1 EUR   26,20 CZK   28,00 CZK
1 GBP    ? CZK         ? CZK
1. Kolik eur dostane zákazník, pokud zde smění 4 200 Kč?
Když směnárník vykoupí od zákazníka 1 000 liber a poté je všechny
prodá, jeho celkový zisk je 2 200 Kč. Kdyby místo toho směnárník prodal
1 000 liber a poté by všechny utržené koruny směnil s jiným zákazníkem
za libry, vydělal by na tom 68,75 liber.
2. Za kolik korun směnárník nakupuje a za kolik prodává 1 libru?
(L. Šimůnek)
 
Z9–I–5
Bětka napsala přirozené číslo s navzájem různými číslicemi. Pod něj
zapsala číslice původního čísla odzadu a tak získala nové číslo se stejným
počtem číslic. Sečtením těchto dvou čísel dostala číslo, které opět mělo
stejný počet číslic jako myšlené číslo a skládalo se pouze z číslic myšleného
čísla (avšak nemuselo obsahovat všechny jeho číslice).
Erice se Bětčino číslo zalíbilo a chtěla si najít jiné číslo se stejnými
vlastnostmi. Zjistila, že neexistuje menší takové číslo než Bětčino a větší
se jí hledat nechce. Určete, jaké číslo si myslí Bětka a jaké číslo by mohla
najít Erika, kdyby měla víc trpělivosti. (K. Jasenčáková)
 
Z9–I–6
Na stranách AB a AC trojúhelníku ABC leží po řadě body E a F,
na úsečce EF leží bod D. Přímky EF a BC jsou rovnoběžné a současně
platí
|FD| : |DE| = |AE| : |EB| = 2 : 1.
Trojúhelník ABC má obsah 27 hektarů a úsečkami EF, AD a DB je
rozdělen na čtyři části. Určete obsahy těchto čtyř částí. (V. Žádník)