Matematická olympiáda 8. ročník

09.11.2015 09:48
KATEGORIE Z8
Z8–I–1
Míša měl na poličce malé klávesy, které vidíte na obrázku. Na bílých
klávesách byly vyznačeny jejich tóny.
C D E F G A H
Klávesy našla malá Klára. Když je brala z poličky, vypadly jí z ruky
a všechny bílé klávesy se z nich vysypaly. Aby se bratr nezlobil, začala
je Klára skládat zpět. Všimla si přitom, že se daly vložit jen na některá
místa, neboť jim překážely černé klávesy umístěné přesně doprostřed mezi
dvě bílé.
Kláře se podařilo klávesy nějak složit, avšak tóny na nich byly pomíchané,
protože ještě neznala hudební stupnici. Zjistěte, kolika způsoby
mohla Klára klávesy poskládat. (E. Novotná)
 
Z8–I–2
Na louce se pasou koně, krávy a ovce, dohromady jich je méně než 200.
Kdyby bylo krav 45krát víc, koní 60krát víc a ovcí 35krát víc, než kolik
jich je nyní, jejich počty by se rovnaly. Kolik se na louce pase koní, krav
a ovcí dohromady? (M. Krejčová)
 
Z8–I–3
Je dán rovnoramenný lichoběžník ABCD, v němž platí
|AB| = 2|BC| = 2|CD| = 2|DA|.
Na jeho straně BC je bod K takový, že |BK| = 2|KC|, na jeho straně
CD je bod L takový, že |CL| = 2|LD|, a na jeho straně DA je bod M
takový, že |DM| = 2|MA|.
Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku KLM. (J. Zhouf )
 
Z8–I–4
V komoře, kde se rozbilo světlo a vše z ní musíme brát poslepu, máme
ponožky čtyř různých barev. Chceme-li si být jisti, že vytáhneme alespoň
dvě bílé ponožky, musíme jich z komory přinést 28. Abychom měli takovou
jistotu pro šedé ponožky, musíme jich přinést také 28, pro černé ponožky
stačí 26 a pro modré ponožky 34.
Kolik je celkem v komoře ponožek? (E. Semerádová)
 
Z8–I–5
Číslo dne je pořadové číslo daného dne v příslušném měsíci (tedy např.
číslo dne 5. srpna 2016 je 5). Ciferný součet dne je součet hodnot všech
číslic v datu tohoto dne (tedy např. ciferný součet dne 5. srpna 2016 je
5 + 8 + 2 + 0 + 1 + 6 = 22). Šťastný den je takový den, jehož číslo dne je
rovno cifernému součtu dne.
Určete, kolik šťastných dní je v roce 2016 a které dny to jsou.
(L. Růžičková)
 
Z8–I–6
Katka narýsovala trojúhelník ABC. Střed strany AB si označila
jako X a střed strany AC jako Y . Na straně BC chce najít takový bod Z,
aby obsah čtyřúhelníku AXZY byl co největší. Jakou část trojúhelníku
ABC může maximálně zabírat čtyřúhelník AXZY ? (A. Bohiniková)